Коэффициент дисконтирования для случая простых процентов формула

Тема 3

Коэффициент дисконтирования для случая простых процентов формула

 Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

 Формула наращения по сложным процентам

         Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года

, через n лет – P(1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов

,                                                          (19)

где S– наращенная сумма,i  – годовая ставка сложных процентов, n – срок ссуды, (1+i)n – множитель наращения.

         В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i).

         Отметим, что при сроке n1 – наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода.

 Формула наращения по сложным процентам,
когда ставка меняется во времени

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид

                              (20)

где    i1, i2,…, ik – последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,…, nk соответственно.

Формула удвоения суммы

         В целях оценки своих перспектив кредитор или должник  может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет вN раз при данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей в будущем.  Ответ получим, приравняв множитель наращения величинеN:

         а) для простых процентов

         (1+niпрост.) = N, откуда

.                                                            (21)

         б) для сложных процентов

 (1+iсложн.)n=N, откуда

.                                                    (22)

Особенно часто используется N=2. Тогда формулы (21) и (22) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

          а) для простых процентов

,                                                            (23)

          б) для сложных процентов

.                                                    (24)

Если формулу (23) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (24) требует применения калькулятора. Однако при небольших ставках процентов (скажем, менее 10%) вместо нее можно использовать более простую приближенную. Ее легко получить, если учесть, что ln 2 » 0,7, а ln(1+i) »i.  Тогда

 n» 0,7/i.                                                              (25)

Начисление годовых процентов при дробном числе лет

         При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:

1) По формуле сложных процентов

,                                                          (26)

2)     На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые

,                                                (27)

где  n=a+b, a-целое число лет, b-дробная часть года.

3)     В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

.                                                          (28)

Номинальная и эффективная ставки процентов

Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка jназывается номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:

,                                                               (29)

где N – число периодов начисления.

         Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:

1)     По формуле сложных процентов

,                                                    (30)

где N/t – число (возможно дробное) периодов начисления процентов, t – период начисления процентов,

2)     По смешанной формуле

,                                            (31)

где    a – целое число периодов начисления (т.е. a=[N/t] – целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления t),

b– оставшаяся дробная часть периода начисления (b=N/t-a).

 Из сопоставления наращенных сумм видим, что наибольшего значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов.

         Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и  m -разовое наращение в год по ставке j/m.

Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то,  по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

,                                                      (32)

где – эффективная ставка, а j – номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

                                                 (33)

Обратная зависимость имеет вид

.                                                 (34)

Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

         Здесь, также как и в случае простых процентов, будут рассмотрены два вида учета – математический и банковский.

Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения

и решим ее относительно P

,                                               (35)

где

                                        (36)

учетный или дисконтный множитель.

         Если проценты начисляются mраз в году, то получим

,                                        (37)

где

                               (38)

дисконтный множитель.

         Величину P, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведеннойвеличинойS. Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме  Sчерез n лет равноценен сумме P, выплачиваемой в настоящий момент.

         Разность D=S-P называют дисконтом.

         Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

,                                                                  (39)

где    dсл – сложная годовая учетная ставка.

         Дисконт в этом случае равен

.                            (40)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

 Номинальная и эффективная учетные ставки процентов

Номинальная учетная ставка. В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетнойm раз в году описывается формулой

,                                                                (41)

где N – общее число периодов дисконтирования (N=mn).

         Дисконтирование не один, а  m  раз в году быстрее снижает величину дисконта.

         Эффективная учетная ставка. Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году m.

         В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей

,

 из которого следует, что

.                                                             (42)

Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.

 Наращение по сложной учетной ставке. Наращение является обратной задачей для учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить, разрешая соответствующие формулы для дисконтирования (39 и 41) относительно S. Получаем

Из

,                                                     (43)

а из

.                                                 (44)

         2.2 Непрерывные проценты

 Наращение и дисконтирование

Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле

,

где j – номинальная ставка процентов, а m – число периодов начисления процентов в году.

         Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m®¥ имеем

.                                  (45)

Известно, что  

 j,

m®¥                      m®¥    

где e – основание натуральных логарифмов.

Используя этот предел в выражении (45), окончательно получаем, что наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов по ставкеj равна

.                                                                         (46)

 Для того, чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом d. Тогда

.                                                                         (47)

 Сила ростаd представляет собой номинальную ставку процентов при m®¥.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

.                                                                                 (48)

 Связь дискретных и непрерывных  процентных ставок

         Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения

.                                                          (49)

          Из записанного равенства следует, что

,                                                 (50)

                          .                           (51)

Расчет срока ссуды и процентных ставок

         В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить  либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.

Срок ссуды

         При разработке параметров соглашения и оценивании сроков достижения желательного результата требуется определить продолжительность операции (срока ссуды) через остальные параметры сделки. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

         А) При наращивании по сложной годовой ставке i. Из исходной формулы наращения

следует, что

                                    (52)

 где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется как в числителе, так и в знаменателе.

         Б) При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы

получаем

                             (53)

         В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d. Из формулы

имеем

                                    (54)

         Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке mраз в году. Из

приходим к формуле

                             (55)

При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из

получаем

.                                               (56)

Расчет процентных ставок

Из тех же исходных формул, что и выше, получим выражения для процентных ставок.

         А) При наращивании по сложной годовой ставке i. Из исходной формулы наращения

следует, что

                                               (57)

         Б) При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы

получаем

                             (58)

         В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d. Из формулы

Имеем                                     (59)

         Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке mраз в году. Из

приходим к формуле

                                      (60)

         Д) При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из

получаем

                                       (61)

Источник: http://e-biblio.ru/book/bib/05_finansy/finansovaya_matematica/teor/tema3.html

2.2. Простые учетные ставки

Коэффициент дисконтирования для случая простых процентов формула

При антисипативномспособе начисления процентов суммапо­лучаемого дохода рассчитываетсяисходя из суммы, получаемой по прошествииинтервала начисления (т. е. из наращеннойсум­мы). Эта сумма и считается величинойполучаемого кредита (или ссуды).

Так какв данном случае проценты начисляютсяв начале каждого интервала начисления,заемщик, естественно, получает эту суммуза вычетом процентных денег.

Такаяоперация называ­ется дисконтированиемпо учетной ставке, а также коммерческимили банковским учетом.

Дисконт — этодоход, полученный по учетной ставке, т.е. раз­ница между размером кредита инепосредственно выдаваемой суммой.

Пусть теперь d(%}— простаягодовая учетная ставка;

d —относительная величина учетной ставки;

Dς — суммапроцентных денег, выплачиваемая за год;

D — общая суммапроцентных денег;

S — сумма, которая должна быть возвращена;

Р — сумма,получаемая заемщиком.

Тогда, согласноопределениям, имеем следующие формулы:

(2.1)

Dς =dS;

(2.2)

D= n D ς,= n d S;

(2.3)

P=S-D=S(1-nd)= S[1-(ð /K)d].

(2.4)

Преобразуя последнеевыражение, получаем формулу дляопре­деления наращенной суммы:

90

(2.5)

Из этой формулылегко видеть, что в отличие от случаяпростых ставок ссудного процента простыеучетные ставки не могут при­ниматьлюбые значения. Именно для того, чтобывыражение (2.5) имело смысл, необходимо,чтобы знаменатель дроби в правой частибыл строго больше нуля, т. е. (1 —nd) > 0, илиd < 1/n. Прав­да, со значениями d, близкимик предельным, вряд ли можно встретитьсяв жизни.

На практике учетныеставки применяются главным образом приучете (т. е. покупке) векселей и другихденежных обяза­тельств. Вопросполучения дохода по векселям будетподробно рассмотрен в разделе 2.8.

Из приведенныхформул можно вывести еще две формулыдля определения периода начисления иучетной ставки при прочих заданныхусловиях:

(2.6)

(2.7)

Пример7

Кредит выдаетсяна полгода по простой учетной ставке20%. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком,и величину дисконта, если требуетсявозвратить 30 000 000 руб. Решение По формуле(2.4) получаем

Р = 30 000 000 (1 – 0,5 •0,2) = 27 000 000 (руб.). Далее

D= S- Р = 30 000 000 – 27 000 000 = 3 000 000 (руб.).

Пример 8

Кредит в размере40 000 000 руб. выдается по простой учетнойставке 25% годовых. Определить срок, накоторый предоставляет­ся кредит, еслизаемщик желает получить 35 000 000 руб.

Решение

Расчет проводитсяпо формуле (2.6):

п= (40 000 000 – 35 000 000)/(40 000 000 • 0,25) = 0,5 года.

91

Пример 9

Рассчитать учетнуюставку, которая обеспечивает получение9 000 000 руб., если сумма в 10 000 000 руб. выдаетсяв ссуду на полгода.

Решение

По формуле (2.7):

d=(10000000-9000000)/(10000000-0,5)=0,2=20%.

2.3. Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередногоинтервала начисления доход (т. е.

на­численные за данный интервалпроценты) не выплачивается, а присоединяетсяк денежной сумме, имеющейся на началоэтого интервала, для определениянаращенной суммы применяют фор­мулысложных процентов.

Сложные ссудныепроценты в настоя­щее время являютсявесьма распространенным видом применяе­мыхв различных финансовых операцияхпроцентных ставок.

Пусть

iс — относительная величина годовойставки сложных ссудных процентов;

kн.с — коэффициентнаращения в случае сложных процен­тов;

j —номинальная ставка сложных ссудныхпроцентов (ее определение будет дано вдальнейшем).

Если за интервалначисления принимается год, то попрошест­вии первого года наращеннаясумма в соответствии с формулой (1.7),составит

S1=P(1+ic).

Еще через год этовыражение применяется уже к сумме S1:

S2 = S1 ( l +ic) = P (l + ic)2

и так далее.Очевидно, что по прошествии п летнаращенная сум­ма составит

S=P(1+ic)n (3.1)

Множитель наращенияk н.ссоответственно будет равен

kн.с= (1 + iс)n (3.2)

При начислениипростых процентов он составил бы поформу­лам (1.5) и (1.7):

kн= (1 + n i).

92

Сравнивая двапоследних выражения для коэффициентовнара­щения, можно видеть, что чембольше период начисления, тем большеразница в величине наращенной суммыпри начислении простых и сложныхпроцентов.

Эту разницу можнонаглядно представить с помощью графи­ков,изображенных на рис. 1. Здесь, как и навсех последующих рисунках, по горизонтальнойоси откладываются годы, по верти­кальной— тысячи рублей. Первоначальная суммасоставляет 1000 руб., процентная ставка— 30% годовых.

Верхняя линия соответ­ствуетнаращению денежной массы в случаеприменения сложной процентной ставки.

Она представляет собой примерэкспоненци­ального роста (чем большеп, тем круче кривая уходит вверх), в товремя как нижняя линия (соответствующаяслучаю простых про­центов) являетсяпрямой с очень небольшим углом наклона.

Поэтому, когдавозникает возможность выбора межцунизкой сложной процентной ставкой иболее высокой простой, следует отдаватьпредпочтение первому варианту.Естественно, если в на­шем распоряженииболее или менее значительный периодвреме­ни.

Сумма, наращенная по сложнойпроцентной ставке, уже через небольшое(в зависимости от разницы в величинепроцентных ставок) количество интерваловначисления превысит сумму, на­ращеннуюпо простой ставке (см. рис. 1).

Подробноэтот вопрос рассматривается в разделе2.5.

Рис. 1. Наращениевложенной суммы по простои и сложнойпроцентным ставкам (i = iс= 30%)

Если срок ссуды пв годах не является целым числом,множи­тель наращения определяют повыражению:

93

kн.с.=(1+ic)na(1+nbic),

(3.3)

где n = nа+ nb

nа— целое число лет;

nb— оставшаяся дробная часть года.

На практике вданном случае часто предпочитаютпользоваться формулой (3.1) с соответствующимнецелым показателем степени.

Но нужноиметь в виду, что с точки зрения сущностиначисления процентов этот способявляется приблизительным, и погрешностьпри вычислениях будет тем больше, чембольше значения входя­щих в формулувеличин. Наибольшее расхождение мыполучим при nb= 1/2, как раз в томслучае, когда очень удобно применитьформулу (3.

1), ведь на всех калькуляторахесть операция извлече­ния квадратногокорня (т. е. возведения в степень 1/2).Следует учитывать, что приблизительныйметод дает меньший, чем в дей­ствительности,результат.

Таким образом, всовременной ситуации, когда номиналыде­нежных сумм достаточно велики, отэтого метода лучше отказать­ся вовсе.В конце раздела будет приведен пример,позволяющий оценить разницу в результатахпри двух способах вычисления множителянаращения по формулам (3.2) и (3.3).

Предположим теперь,что уровень ставки сложных процентовбудет разным на различных интервалахначисления.

Пусть n1, п2, …, пN—продолжительность интервалов начисле­нияв годах; i1, i2, …,iN — годовыеставки процентов, соответст­вующиеданным интервалам. Тогда наращеннаясумма в конце первого интервала начисленияв соответствии с формулой (1.7), составит

S1= Р(1+n1i1).

В конце второгоинтервала:

S2=P(l+n1i1)(l+i2)

и т.д.

При N интервалахначисления наращенная сумма в концевсего периода начисления составит

(3.4)

Если все интервалыначисления одинаковы (как и бываетобыч­но на практике) и ставка сложныхпроцентов одна и та же, фор­мула (3.4)принимает вид:

94

SN=P(1 +тi)N.

(3.5)

Начисление сложныхпроцентов может осуществляться не один,а несколько раз в году. В этом случаеоговаривается номи­нальная ставкапроцентов у — годовая ставка, по которойопреде­ляется величина ставкипроцентов, применяемая на каждомин­тервале начисления.

При т равныхинтервалах начисления и номинальнойпроцент­ной ставкеj этавеличина считается равнойj/m.

Если срок ссудысоставляет п лет, то, аналогично формуле(3.1), получаем выражение для определениянаращенной суммы:

Smn=P(1+j/m)mn,

(3.6)

где тп — общеечисло интервалов начисления за весьсрок ссуды.

Если общее числоинтервалов начисления не является целымчислом (mn— целое число интервалов начисления,I — часть ин­тервала начисления), товыражение (3.6) принимает вид:

S=P(1+j/m)mn(1+Ij/m). (3.7)

Для целого числапериодов начисления используетсяформула сложных процентов (3.1), а дляоставшейся части — формула про­стыхпроцентов (1.7).

В России внастоящее время наиболее распространеннымявля­ется начисление процентов пополугодиям, поквартальное и еже­месячное(иногда интервалом начисления можетявляться и день). Такие проценты,начисляемые с определенной периодичностью,называются дискретными.

В мировой практикечасто применяется также непрерывноена­числение сложных процентов (т. е.продолжительность интервала начислениястремится к нулю, а т — к бесконечности).

В этом случае длявычисления наращенной суммы служитсле­дующее выражение:

(3.8)

Для расчетов можноиспользовать известную в математикефор­мулу:

где е= 2,71828…

Из этой формулыследует:

95

Тогда для наращеннойсуммы получаем

S=Реjn

(3.9)

Здесь

kн.с=ejn

(3.10)

Значения наращеннойсуммыS можновычислять с помощью финансовогокалькулятора или находя значения еjnи других тре­буемых величин в специальныхтаблицах.

Очевидно, чтонепрерывный способ начисления процентовда­ет максимальную величину наращеннойсуммы при прочих рав­ных условиях (т.е. при одинаковыхn,j, Р).

Аналогично случаюпростых процентов полученные формулыможно преобразовывать, выражая однивеличины через другие, в зависимостиот того, что известно, а что требуетсянайти.

Так, из формулы(3.1) получаем

(3.11)

Напомним, что, каки в случае простых процентов, определениесовременной величины суммы Sназываетсядисконтированием.

Коэффициентдисконтирования а является величиной,обрат­ной коэффициенту наращения, т.е. kн.с*а = 1.

Формула (3.11), атакже соответствующие формулы дляслучая простых ставок ссудного процентаи для учетных ставок дают лег­копонять, что текущий финансовый эквивалентбудущей денежной суммы тем ниже, чемотдаленнее срок ее получения и чем вышенорма доходности.

Также из формулы(3.1) имеем

(3.12)

Из формулы (3.6):

(3.13)

Применяя операциюлогарифмирования к обеим частям фор­мулы(3.1), получаем

(3.14)

Подобным же образомиз формулы (3.6) получаем формулу:

96

(3.15)

Если нет специальногокалькулятора, значения логарифмов такженаходят по таблицам.

Существует несколькоправил, позволяющих быстро рассчитатьсрок удвоения первоначальной суммы дляконкретной процент­ной ставки.

Правило«72»:

Правило «69» (болееточное):

Здесь, однако,следует иметь в виду, что при выводеэтих правил используются математическиеформулы, дающие верный резуль­тат недля любых значений входящих в нихвеличин. Например, выражение 1/х 0) неверно при х < 1.

Данные правиладают весьма точный результат принебольших значениях iс(%).До ic(%)= 100(%) отклонения достаточно малы и имиможно пренебречь.

При процентной ставке,равной, напри­мер, 120%, погрешность(для правила «69») составляет 5,2% (дляправила «72» она будет больше) и растетс ростом ic.

При этом срок удвоения, полученный поправилу «69», будет больше, чем вдействительности, а по правилу «72» —меньше.

В качестве примеранайдем срок удвоения капитала пригодо­вых ставках: а) 20% и б) 110% по формуле(3.14) и по правилам «б9» и «72».

а) n =ln 2/ln 1,2 =3,8 года, или

n= 72/20 = 3,6 года, или

n = 69/20 + 0,35 = 3,8 года;

б) л =ln 2/ln 2,1 =0,93 года, или

n= 72/110 = 0,65 года, или

n= 69/110 + 0,35 = 0,98 года (разница с точнымзна­чением — 18 дней).

Следующие примерыиллюстрируют использование получен­ныхформул.

Пример 10

Первоначальнаявложенная сумма равна 200 000 руб. Опреде­литьнаращенную сумму через пять лет прииспользовании про­стой и сложнойставок процентов в размере 28% годовых.Решить

97

этот пример такжедля случаев, когда проценты начисляютсяпо полугодиям, поквартально, непрерывно.

Решение

По формуле (1.7) дляпростых процентных ставок имеем

S= 200 000 (1 +5 *0,28)= 480 000 (руб.). По формуле (3.1) для сложныхпроцентов:

S = 200 000 (1 + 0,28)5= 687 194,7 (руб.). По формуле (3.6) для начисленияпо полугодиям:

S=200000(1 + 0,14)10= 741 444,18(руб.). Из той же формулы для поквартальногоначисления:

S=200 000 (1 + 0,07)20= 773 936,66 (руб.). По формуле (3.9) для непрерывногоначисления:

S = 200 000 е1,4= 811 000 (руб.).

Пример 11

Первоначальнаясумма долга равна 50 000 000 руб. Определитьнаращенную сумму через 2,5 года, используядва способа начис­ления сложныхпроцентов по ставке 25% годовых.

Решение

По формуле (3.3)получаем S=50000000(1 +0,25)2(1 +0,125) =87890625 (руб.).

Для второго способаиспользуем формулу (3.1) с нецелымпо­казателем степени:

S = 50 000 000 (1 + 0,25)2'5 =87 346 390 (руб.).

Отчетливо виднорасхождение: при использованииприблизи­тельного метода упущеннаявыгода могла бы составить около 550 000руб.

Пример 12

Определитьсовременную (текущую, настоящую,приведенную) величину суммы 100 000 000 руб.,выплачиваемую через три года, прииспользовании ставки сложных процентов24% годовых.

Решение

Воспользуемсяформулой (3.11):

Р = 100 000 000/0 + 0,24)3== 52 449 386 (руб.).

Источник: https://studfiles.net/preview/959025/page:3/

Проценты и дисконтирование в финансовом менеджменте

Коэффициент дисконтирования для случая простых процентов формула

Виктор Андреевич Mocквин, доктор экономических наук, профессор Государственного университета управления и Академии народного хозяйства при Правительстве РФ, главный научный сотрудник Государственного научного центра РФ «НАМИ».

В финансовом менеджменте учет фактора времени осуществляется с помощью методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений.

Сущностью этих методов является приведение денежных сумм, относящихся к различным временном периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем. При этом в качестве нормы приведения используется процентная ставка (interest rate — r).

В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако в финансовом менеджменте она трактуется более широко.

Процентная ставка здесь также выступает:

  • в качестве измерителя уровня (нормы) доходности производимых операций, исчисляемого как отношение полученной прибыли к величине вложенных средств и выражаемого в долях единицы либо в процентах;
  • в качестве альтернативной стоимости (издержек) капитала. Под наращением понимают процесс увеличения первоначальной суммы в результате начисления процентов.

Экономический смысл метода наращения состоит в определении величины, которая будет или может быть получена из некоторой первоначальной (текущей) суммы в результате проведения операции.

Другими словами, метод наращения позволяет определить будущую величину (future value — FV) текущей суммы (present value — PV) через некоторый промежуток времени n, исходя из заданной процентной ставки r.

Используемую при этом ставку r иногда называют ставкой роста.

Дисконтирование представляет собой процесс нахождения денежной величины на заданный момент времени по ее известному или предполагаемому значению в будущем.

В экономическом смысле величина PV, найденная в процессе дисконтирования, показывает современное (с позиции текущего момента времени) значение будущей величины FV.

Нетрудно заметить, что дисконтирование, по сути, является зеркальным отражением наращения. Используемую при этом процентную ставку r называют нормой дисконта.

Следует отметить, что в зависимости от условий проведения финансовых операций как наращение, так и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.

Простые проценты

Как правило, простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше или равен году.

Базой для исчисления процентов за каждый период в этом случае является первоначальная (исходная) сумма сделки.

Наращение по простым процентам

В общем случае наращение по годовой ставке простых процентов вычисляют по формуле:

FV = PV (1 + r * n)

где FV— будущая стоимость (величина); PV — современная величина; n — число периодов (лет); r — процентная ставка.

На практике продолжительность краткосрочной операции обычно меньше года. В этом случае срок проведения операции корректируется следующим образом:

ЕЩЕ СМОТРИТЕ:  Четыре главных этапа анализа отчета о прибылях и убытках

где t — число дней проведения операции; В — временная база (число дней в году: 360, 365 или 366).

С учетом корректировки срока операции ее будущую стоимость можно определить как:

FV = PV (1 + r * [t /B]).

Обычно при определении продолжительности операции даты ее начала и окончания считаются за один день.

В процессе проведения анализа в качестве временной базы часто удобно использовать условный, или финансовый, год, состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней). Исчисляемые по такой базе проценты называют обыкновенными, или коммерческими.

Точные проценты получают при базе, равной фактическому числу дней в году, т. е. при В = 365 или 366.

Пример. Покупатель предоставил коммерческий кредит под гарантию оплаты продукции на сумму 10 000 ед. через 30 дней. Ставка по кредиту определена в размере 30% годовых. Какова будет сумма оплаты по контракту?

Вычислим ее:

а) с использованием обыкновенных процентов

FV = 10 000 * (1 + 0,30 * (30 / 360)) = 10 250 ед.;

б) с использованием точных процентов

FV= 10 000 * (1 + 0,30 * (30 / 365)) = 10 246,58 ед.

В свою очередь, срок продолжительности операции также может быть приблизительным (когда месяц принимается равным 30 дням) или точным (фактическое число дней в каждом месяце).

Таким образом, в зависимости от параметров t и В возможны следующие варианты начислений процентов:

  • 365/365 — точное число дней проведения операции и фактическое число дней в году;
  • 365/360 — точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней);
  • 360/360 — приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (12 месяцев по 30 дней).

Обыкновенные проценты (360/360) более удобно использовать в аналитических расчетах. Этим объясняется популярность их применения на практике в большинстве развитых стран, включая США и государства Европы.

В России в основном применяются точные проценты (365/365). В частности, они используются в официальных методиках Центрального банка РФ и Минфина России для расчета доходности по краткосрочным государственным обязательствам.

Дисконтирование по простым процентам

В зависимости от вида процентной ставки при анализе краткосрочных финансовых операций применяют два метода дисконтирования — математическое и коммерческое (так называемый банковский учет).

В первом случае в качестве нормы приведения используют ставку r, применяемую при наращении.

Во втором случае в роли нормы приведения выступает учетная ставка, для обозначения которой в дальнейшем будет использоваться символ d.

Математическое дисконтирование представляет собой задачу, обратную наращению, и сводится к определению величины PV по известным значениям величин FV, r, n. С учетом принятых обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь следующий вид:

ЕЩЕ СМОТРИТЕ:  Методы планирования прибыли: пять основных подходов

PV = FV / (1 + r * n) = FV / (1 + r * [t / B])

Разность FV — PV называют дисконтом, или скидкой, а используемую норму приведения r — декурсивной ставкой процентов.

Банковский или коммерческий учет

Этот метод дисконтирования применяется в основном при банковском учете векселей. Суть его заключается в том, что проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При этом применяется учетная ставка d. Формула дисконтирования по учетной ставке имеет следующий вид:

PV = FV * (1 — d * n) = FV * (1 — d * [t / B])

При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения d называют антисипативной ставкой процентов.

Пример. Простой вексель на сумму 100 000 ед. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Учетная ставка банка 15%. Определить сумму, полученную владельцем векселя.

PV = 100 000 (1 — 0,15 * 90 / 360) = 96 250 ед.

Соответственно, банк удержал в свою пользу 100 000 — 96 250 = 3 750 ед.

При неизменном значении ставки d чем раньше производится учет векселя, тем больше будет величина дисконта в пользу банка и тем меньшую сумму получит владелец.

Применение двух рассмотренных методов дисконтирования к одной и той же сумме приводит к разным результатам, даже при r = d. Учетная ставка d дает более быстрое снижение исходной суммы, чем обычная ставка r.

Сложные проценты

Сложные проценты широко применяются в финансовых операциях, срок проведения которых превышает один год.

Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т. д.

) При этом база для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов.

Общее соотношение для определения будущей величины имеет вид:

FV n= PV (1 + r)n

Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,00 ед. при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1 174 313,45 ед.

На практике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежемесячно, ежеквартально и т. д. В этом случае соотношение для исчисления будущей стоимости будет иметь следующий вид:

ЕЩЕ СМОТРИТЕ:  Инвестиционная политика предприятия: восемь основных этапов

FVn= P V (1 + r / m) m

где m — число периодов начисления в году.

Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту по формуле:

EPR = (1 + r / m) m -1

Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate — EPR), или ставкой сравнения.

Пример. На 4-летний депозит в 10 000,00 ед. производится ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 2,5%, т. е. из расчета 10% годовых. Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000,00 ед., вложенный на тот же срок под 10%, начисляемых один раз в год?

Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций:

ежеквартально EPR = (1 + 0,1/4)4— 1 = (1 + 0,025)4— 1 = 0,103813 ед.,

ежегодно EPR = (1 + 0,1 / 1) 1— 1 = 0,10 ед.

Таким образом, условия помещения суммы в 10 000,00 ед. на депозит сроком на 4 года под 2,5%, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813%. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.

Дисконтирование по сложным процентам

Формулу для определения современной величины по сложным процентам можно легко вывести формулы сложных процентов делением его обеих частей на величину (1 + r) n. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:

PVn = FVn / (1 + r)n

Пример. Выплаченная по 3-летнему депозиту сумма составила величину 100 ед. Определить первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 8% годовых. Аналитическое решение задачи будет иметь следующий вид:

PV = 100,00 / (1 + 0,08)3 = 79,38 ед.

Если начисление процентов осуществляется m раз в году, соотношение будет иметь вид:

PV n, m = FVn (1 + r / m)mn

Методы наращения и дисконтирования играют важную роль в финансовом менеджменте, так как являются инструментарием для оценки потоков платежей.

Изучите простые и сложные проценты в практическом курсе «Финансовый менеджмент: управление финансами»:

Финансовый менеджмент (управление финансами): практический интерактивный дистанционный курс

Источник: http://www.elitarium.ru/finansy-vremya-diskontirovanie-narashchenie-slozhnye-procenty-stavka-sdelka-ischislenie-nachislenie-formula-depozit-veksel-stoimost-raschet/

Коэффициент дисконтирования для случая простых процентов формула | Юридическая помощь

Коэффициент дисконтирования для случая простых процентов формула

Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос «Коэффициент дисконтирования для случая простых процентов формула». Также Вы можете бесплатно проконсультироваться у юристов онлайн прямо на сайте.

Таким образом, в зависимости от параметров t и В возможны следующие варианты начислений процентов:

  • 365/365 — точное число дней проведения операции и фактическое число дней в году;
  • 365/360 — точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней);
  • 360/360 — приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (12 месяцев по 30 дней).

Определение стоимости бизнеса методом ДДП основано на предположении о том, что потенциальный инвестор не заплатит за данный бизнес сумму, большую, чем текущая стоимость будущих доходов от этого бизнеса. Собственник не продаст свой бизнес по цене ниже текущей стоимости прогнозируемых будущих доходов.

Как рассчитать коэффициент дисконтирования?

Формула коэффициента дисконтирования применяется на сегодняшний день во многих экономических и финансовых областях. Коэффициент легко применим для определения эффективности бизнес-плана, прогнозирования успеха деятельности любой компании.

Теория и практика инвестиционного анализа выработала три основных подхода к определению нормы дисконта: определение нормы дисконта по альтернативным вариантам инвестирования, кумулятивным методом или нормативным методом.

Итак, мы рассмотрели основные показатели, с помощью которых можно оценить эффективность инвестиционного проекта.
В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 15% годовых плюс маржа 6% в первые два года, 8% в третий год, 10% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Коэффициент дисконтирования для случая простых процентов формула

Любой инв процесс связан с риском. В связи с этим при принятии решений о финансировании проекта необх учитывать фактор времени, т.е. оценивать з-ты, выручку, прибыль и т.д. от реал-ции того или иного проекта с учетом вр-ных изменений. Следует учитывать также упущ возм-ти в извлечении дохода в рез-те использ ср-в, кот будут получены в будущем.

Вся методология МСФО, комментарии экспертов, практические разработки, отраслевые рекомендации доступны при годовой и полугодовой подписке на журнал.

Величина FM (n, r) в случае дисконтирующего множителя называется приведенной (текущей, временной) стоимостью одной денежной единицы, вложенной на n лет под r процентов годо­вых. С помощью данной величины можно привести в соответст­вие вложенную и возвращаемую суммы.

Формула коэффициента дисконтирования предполагает расчет нормы дисконта, от которого зависит итоговая оценка доходности инвестиционных проектов.

Временная стоимость денег включает в себя понятия будущей стоимости (компаундирование) и текущей стоимости (дисконтирование).

Внимание! Каждый электронный конспект лекций является интеллектуальной собственностью своего автора и опубликован на сайте исключительно в ознакомительных целях.

Метод оценки по приведенной стоимости, используемый для определения справедливой стоимости, будет зависеть от фактов и обстоятельств, специфических для оцениваемого актива или обязательства (например, наблюдаются ли цены на сопоставимые активы или обязательства на рынке), и наличия достаточных данных.

От математического дисконтирования следует отличать так называемое банковское дисконтирование, под которым понима­ется поиск исходной суммы для наращения заданной суммы по заданной процентной ставке.

Каждый год предыдущее суммарное значение умножается на величину (1+i), в нашем случае на 1,10. Применяя это правило повторно, мы можем начать строить таблицу констант, на которые нужно умножить заданную начальную сумму для получения будущей стоимости при различных числах периодов и ставках процента.

Поскольку приток денежных средств распределен во времени, он дисконтируется с помощью коэффициента r, который он хочет или может иметь на инвестируемый им капитал.

Формула раскроет свой смысл, если рассмотреть несколько примеров. Проанализируем ту же однодолларовую инвестицию при ставке 10%.

Для удобства применения методов, основанных на дисконтированных оценках разработаны специальные статастические таблицы, в которых табулированы значения сложных процентов, дисконтирующих множителей, дисконт. значения денежной единицы и т.п. в зависимости от временного интервала и значения коэффициента дисконтирования.

Ключевым элементов в формуле дисконтирования денежных потоков является ставка дисконтирования. Ставка дисконтирования показывает, какую норму прибыли следует ожидать инвестору при вложении в тот или иной инвестиционный проект.

Руководство для неспециалиста по расчету сложных процентов

Значение коэффициента дисконтирования используется в разных ситуациях:

  • оценка эффективности экономической деятельности какой-либо фирмы;
  • расчет эффективности инвестиционного проекта;
  • рассмотрение альтернативных вариантов вложения средств как между разными инициативами, так и внутри одного предприятия (выбор наиболее перспективного пути развития);
  • многосторонние расчеты и кредитование.

Он определяет количественную величину одной денежной единицы в будущем, при соблюдении условий расчета.

При использовании доходного подхода при оценке справедливой стоимости будущие суммы (например, потоки денежных средств или доходы и расходы) преобразовываются в единую сумму на текущий момент (то есть дисконтированную).

Эта операция является обратной к операции, с которой вы, возможно, знакомы лучше и которая известна под названием «вычисление сложных процентов» (compounding). Чтобы понять дисконтирование, нам нужно посмотреть, как происходит расчет сложных процентов. Это довольно просто — проценты, заработанные за год, сами приносят проценты в следующем году.

В нашем примере величина 1,10 долл. является будущей стоимостью величины в 1 долл., инвестированной при ставке 10% сроком на один год. Величина 1,21 долл. является будущей стоимостью того же 1 долл., инвестированного при ставке 10% сроком на два года, и т.д.

В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако в финансовом менеджменте она трактуется более широко.

Сравним коэффициенты наращения по простым и сложным процентам по ставке 20% годовых и временной базе 360 дней. Результаты расчета поместим в таблицу 1.

Пример. Покупатель предоставил коммерческий кредит под гарантию оплаты продукции на сумму 10 000 ед. через 30 дней. Ставка по кредиту определена в размере 30% годовых. Какова будет сумма оплаты по контракту?

Таблица коэффициентов дисконтирования

Таблице можно придать второе измерение, варьируя ставку процента. В таблице 4 представлен расширенный перечень сложных процентных коэффициентов, заданных для ряда значений ставок процента и количества периодов. Исходя из данных таблицы 4 вам следует уяснить две вещи. При возрастании количества периодов растет и сложный процентный коэффициент.

Помимо только дисконтирования денежных потоков существую более сложные методы, которые в дополнение учитывают реинвестирование денежных платежей.

  • Модифицированная чистая норма рентабельности (MNPV, Modified Net Rate of Return)
  • Модифицированная норма прибыли (MIRR, Modified Internal Rate of Return)
  • Модифицированный чистый дисконтированный доход (MNPV, Modified Present Value)

Эквивалентность сложной процентной ставки с начислением процентов 1 раз в год и сложной процентной ставки с начислением процентов m раз в год.

После необходимо привести полученные денежные потоки к первоначальному периоду, то есть умножить их на коэффициент дисконтирования. В результате сумма всех дисконтированных денежных потоков даст дисконтированную стоимость инвестиционного объекта.

Следует отметить, что в зависимости от условий проведения финансовых операций как наращение, так и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.

Процесс приведения стоимости называют «дисконтированием», а ставку, используемую при этом, – ставкой дисконтирования.

Важнейшей составной частью для расчета коэффициента является ставка дисконтирования, которую еще называют нормой дисконта. Для ее определений существует целый ряд методик, основанных на различных принципах:

  • дивидендный метод (модель Гордона);
  • стоимость капитальных активов предприятия (модель CAPM и ее многочисленные модификации);
  • наличие заемных и собственных средств (модель WACC);
  • метод значений рентабельности капитала (ROE, ROA, ROACE, ROCE);
  • метод вычисления рисковых премий (кумулятивный);
  • экспертный метод, основанный на субъективных прогнозах специалистов.

Дисконтирование по формуле сложных процентов

Определить простую учетную ставку, эквивалентную ставке обычных процентов 12 % годовых, при наращении за 2 года.

Для того чтобы рассчитать дисконтированные денежные потоки необходимо по выбранному временному периоду (в нашем случае годовые интервалы) расписать подробно все ожидаемые положительные и отрицательные денежные платежи (CI – Cash Inflow, CO – Cash Outflow). За денежные потоки в оценочной практике берут следующие платежи:

  • Чистый операционный доход;
  • Чистый поток наличности за исключением затрат на эксплуатацию, земельного налога и реконструирования объекта;
  • Облагаемая налогом прибыль.

Ставка дисконтирования – это основной составной элемент коэффициента дисконтирования. Она представляет собой стоимость привлекаемого капитала. Ожидаемая доходность, при которой инвестор готов вкладывать свои средства в данный проект. Ставка дисконтирования изменчивая величина, на нее оказывают влияние многочисленные факторы. В каждом отдельно рассматриваемом случае они различны.

Источник: http://umnitsa-voronezh.ru/strakhovoe-pravo/2003-koyefficient-diskontirovaniya-dlya-sluchaya-prostykh-procentov-formula.html

Юрист Авилин
Добавить комментарий